Multilinear morphisms between 1 - motives by

1 From " Récoltes et Semailles " of Alexander Grothendieck: " Cette vaste théorie [des motifs] offrait pourtant dans l'immédiat (et jusqu'` a au-jourd'hui encore) un guide très sûr pour s'y reconnaˆıtre dans les situations o` u inter-vient la cohomologie des variétés algébriques, tant pour deviner ce qu'on est en droit d'en attendre, que pour suggérer les bonnes notationsà introduire et parfois, pour fournir des approches vers des démonstrations. " ****** " La découverte est lepriviì ege de l'enfant. C'est du petit enfant que je veux parler, l'enfant qui n'a pas peur encore de se tromper, d'avoir l'air idiot, de ne pas faire sérieux, de ne pas faire comme tout le monde. Il n'a pas peur non plus que les choses qu'il regarde aient le mauvais goût d'ˆ etre différentes de ce qu'il attend d'elles, de ce qu'elles devraientêtre, ou plutôt : de ce qu'il est bien entendu qu'elles sont. " ****** " La découverte de l'erreur est un des moments cruciaux, un moment créateur entre tous, dans tout travail de découverte, qu'il s'agisse d'un travail mathématique, ou d'un travail de découverte de soi. C'est un moment o` u notre connaissance de la chose sondée soudain se renouvelle. Craindre l'erreur et craindre la vérité est une seule et même chose. " ****** " C'est dans cette même nuit, je crois, que j'ai compris que désir de connaˆıtre et puissance de connaˆıtre et de découvrir sont une seule et même chose. " ****** " Chose qui peut paraˆıtré etrange, cette connaissance perdue de la présence en nous de cette force, de ce pouvoir créateur, comme partévidente, indestructible de notre vraie nature – cette connaissance est retrouvéè a travers la découverte et l'humble acceptation d'unétat d'impuissance, résolu par cette acceptation même. " Abstract Let S be a scheme. We study the homomorphisms and the extensions involving the pure part of 1-motives, i.e. locally constant S-group schemes, abelian S-schemes and S-tori. Using these results, we compute explicitly the categories of biextensions involving these geometrical objets and then we prove that if G i (for i = 1, 2, 3) is an extension of an abelian S-scheme A i by an S-torus T i , the category of biextensions of (G 1 , G 2) by G 3 is equivalent to the category of biextensions of the underlying abelian S-schemes (A 1 , A 2) by the underlying S-torus T 3. We define biextensions …